Forex4you
 



 Главное меню

 Главная страница
 Математика
 Услуги Сайта
 Помощь Сайту
 Реклама на Сайте
 Наши проекты
 Ссылки
 Обратная связь
 Программы

  Темы данного Раздела

 1. Аналитическая      Геометрия
 

  Реклама Так.ru



 Зарегестрироваться
   на Так.ру
 

  Реклама WMLink.ru



 Зарегестрироваться
   на WMLink.ру
 


Аналитическая Геометрия (на плоскости и в пространстве).


ВНИМАНИЕ!!!.Чтобы пользоваться материалами данного сайта у вас на компьютере должна быть установлена операционная система MicroSoft Windows 2000/XP также у вас должен быть установлен один из этих браузеров Netscape/Mozilla/Firefox если же вы используете браузер Internet Explorer нужно установить плагин для IE под названием MathPlayer (отсюда). Вне зависимости от используемого вами браузера у вас должны быть установлены специальные Математические Шрифты скачать их можно здесь. Так же вам будут необходимы программы для чтения файлов .pdf Для получения более подробной информации перейдите в раздел Программы.
Те кто работает в операциооной системе отличной от MicroSoft Windows посетите сайт web.mit.edu там вы найдете все для работы с данным сайтом.


1. Системы Координат на плоскости и в пространстве


     1.1 Системы координат на плоскости

     Декартовы прямоугольные координаты (рис. 4.1)

     О - начало координат, Ох - ось абсцисс, Оy - ось ординат, - базисные векторы, - абсцисса точки M ( - проекция точки M на ось Ох параллельно оси Оy), - ордината точки M ( - проекция точки M на ось Oy параллельно оси Ox).

Декартовы косоугольные (афинные) координаты (рис. 4.2)


     О - начало координат, - оси координат, , - координаты точки M ( - проекция точки M на ось параллельно оси , аналогично ), - базисные векторы.



     Полярные координаты (рис. 4.3)

     О - полюс, Ox - полярная ось, - полярный радиус, - полярный угол.

     Главные значения и : (иногда ).


     Выражение декартовых прямоугольных координат через полярные


     Выражение полярных координат через декартовы прямоугольные



     1.2 Системы координат в пространстве

     Декартовы прямоугольные координаты (рис. 4.4)

     О - начало координат, Ох - ось абсцисс, Оy - ось ординат, Оz - ось аппликат, - базисные векторы. Oxy, Oxz, Oyz - координатные плоскости, - абсцисса точки M ( - проекция точки M на ось Ох параллельно плоскости Оyz), - ордината точки M ( - проекция точки M на ось Oy параллельно плоскости Oxz), - ордината точки M ( - проекция точки M на ось Oz параллельно плоскости Oxy).

Декартовы косоугольные (афинные) координаты (рис. 4.5)


     О - начало координат, - оси координат, , , - координатные плоскости, - координаты точки M ( - проекция точки M на ось параллельно плоскости ; аналогично , ), - базисные векторы.



     Цилиндрические координаты (рис. 4.6)

     Главные значения , , :

     Связь между декартовыми прямоугольными и цилиндрическими координатами:


     Сферические координаты (рис. 4.7)

     Главные значения , , :

     Иногда вместо рассматривают :

Связь между декартовыми прямоугольными и сферическими координатами

   или   



2. Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости


     2.1 Параллельный сдвиг координатных осей (рис. 4.8)


     2.2 Поворот координатных осей (рис. 4.9)


     2.3 Параллельный сдвиг и поворот координат осей (рис. 4.10)



3. Простейшие задачи аналитической геометрии


     3.1 Расстояние между двумя точками

где и радиус-векторы точек и .

     В координатах:

     на прямой   

     на плоскости   

     в пространстве   


     3.2 Деление отрезка в данном отношении

     В координатах:

     на прямой   ;

     на плоскости   ,   ;

     в пространстве   ,   ,   


     3.3 Середина отрезка (= 1)

     В координатах:

     на прямой   ;

     на плоскости   ,   ;

     в пространстве   ,   ,   .



     3.4 Координаты центра масс системы материальных точек

     Если в точках (с радиусами-векторами ) сосредоточены массы то радиус-вектор центра масс

     В координатах:


     3.5 Площадь треугольника по трем точкам

     Если , , - радиус-векторы вершин треугольника, то

     В координатах:

        в общем случае

        для треугольника, лежащего в плоскости Oxy (mod a = |a|),



     3.6 Объем параллелепипеда

     Если параллелепипед построен на приведенных к общему началу векторах , а , , , - радиус-векторы его соответствующих вершин то объем параллелепипеда

     В координатах


     3.7 Объем тетраэдра

     Если - исходящие из одной вершины ребра тетраэдра, а , , , - радиус-векторы соответствующих вершин тетраэдра, то его объем


4. Прямая на плоскости


     4.1 Общее уравнение

Ax + By + C ( > 0).

     Вектор = (А; В) - нормальный вектор прямой.

     В векторном виде: + С = 0, где - радиус-вектор произвольной точки на прямой (рис. 4.11).

     Частные случаи:

     1) By + C = 0 - прямая параллельна оси Ox;

     2) Ax + C = 0 - прямая параллельна оси Oy;

     3) Ax + By = 0 - прямая проходит через начало координат;

     4) y = 0 - ось Ox;

     5) x = 0 - ось Oy.


     4.2 Уравнение прямой в отрезках

где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.


     4.3 Нормальное уравнение прямой (рис. 4.11)

где - угол, образуемый нормально к прямой и осью Ox; p - расстояние от начала координат до прямой.

     Приведение общего уравнения прямой к нормальному виду:

Здесь - нормируемый множитель прямой; знак выбирается противоположным знаку C, если и произвольно, если C = 0.



     4.4 Векторно-параметрическое уравнение прямой

где - фиксированная точка, лежащая на прямой; - направляющий вектор (см. рис. 4.11).

     В координатах (параметрические уравнения):


     4.5 Каноническое уравнение прямой


     4.6 Уравнение прямой по двум точкам (рис. 4.12)

или

или


     4.7 Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту (рис. 4.12)

или

где b - величина отрезка, отсекаемого прямой на оси Oy.



     4.8 Отклонение точки от прямой

или

где знак перед корнем противоположен знаку C, если и выбран произвольно, если C = 0.


     4.9 Расстояние от точки до прямой


     4.10 Взаимное расположение двух прямых

     Прямые и :

пересекаются

параллельны (но не совпадают)

совпадают

     Прямые и :

пересекаются

параллельны (но не совпадают)

совпадают

     Прямые и :

пересекаются

параллельны (но не совпадают)

совпадают



     4.11 Угол между двумя прямыми


     4.12 Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых

или или


     4.13 Расстояние между параллельными прямыми

     Если прямые заданы уравнениями и то

а если уравнениями и то


     4.14 Пучок прямых

     Если - центр пучка, то уравнение пучка

     Если центр задан пересечением двух прямых

то уравнение пучка


5. Прямая в пространстве


     5.1 Способы задания прямой

     Векторно-параметрическое уравнение прямой

где - фиксированная точка, лежащая на прямой; - направляющий вектор.

     В координатах (параметрические уравнения):


     Канонические уравнения прямой


     Уравнения прямой по двум точкам


     Прямая как линия пересечения двух плоскостей

при условии, что не имеют места равенства

     Направляющий вектор такой прямой

где



     5.2 Взаимное расположение двух прямых

     Если прямые заданы уравнениями и то они:

     1) параллельны (но не совпадают)

     2) совпадают

     3) пересекаются

     4) скрещиваются

     Если то случаи 1 - 4 имеют место, когда ( - знак отрицания условия):

     1)    

     2)    

     3)    

     4)    


     5.3 Расстояние между двумя параллельными прямыми

     В координатах



     5.4 Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми

     В координатах


     5.5 Угол между двумя прямыми


     5.6 Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых

или


     5.7 Взаимное расположение прямой и плоскости

     Плоскость и прямая

     1) пересекаются

     2) прямая лежит в плоскости

     3) параллельны

     Если то случаи 1 - 3 имеют место, когда:

     1)

     2)

     3)



     5.8 Необходимое и достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости

или


     5.9 Угол между прямой и плоскостью


     5.10 Точка пересечения прямой с плоскостью

     В координатах:

где


     5.11 Уравнения прямой, проходящей через точку перпендикулярно к плоскости

     В координатах:


6. Плоскость


     6.1 Способы задания плоскости


     Общее уравнение плоскости (рис. 4.13)

где - нормальный вектор плоскости.

     В векторном виде .

     Частные случаи общего уравнения плоскости:

     1) By + Cz + D = 0 - параллельна оси Ox;

     2) Ax + Cz + D = 0 - параллельна оси Oy;

     3) Ax + By + D = 0 - параллельна оси Oz;

     4) Cz + D = 0 - параллельна оси Oxy;

     5) By + D = 0 - параллельна оси Oxz;

     6) Ax + D = 0 - параллельна оси Oyz;

     7) Ax + By + Cz = 0 - проходит через начало координат;

     8) By + Cz = 0 - проходит через ось Ox;

     9) Ax + Cz = 0 - проходит через ось Oy;

     10) Ax + By = 0 - проходит через ось Oz;

     11) z = 0 - плоскость Oxy;

     12) y = 0 - плоскость Oxz;

     13) x = 0 - плоскость Oyz.



     Уравнение плоскости в отрезках

где a, b, c - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат.


     Нормальное уравнение плоскости

где - углы, образуемые нормальным вектором плоскости с осями координат; p - расстояние от начала координат до плоскости.

     Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду:

Здесь - нормирующий множитель плоскости, знак которого выбирается противоположным знаку D, если произвольно, если D = 0.


     Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору

     В векторном виде

     В координатах


     Уравнение плоскости по точке и двум неколлинеарным векторам

     В векторном виде

     В координатах



     Уравнение плоскости по трем точкам

     В векторном виде

     В координатах

или


     Параметрические уравнения плоскости

     В векторном виде

     В координатах


     Уравнение плоскости, проходящей через две параллельные прямые и

     Если прямые заданы соответственно уравнениями:

  и  

то уравнение плоскости есть



     Уравнение плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые и

или

     Если , то уравнение плоскости есть


     6.2 Отклонение точки от плоскости

или

где знак перед корнем противоположен знаку D, если и выбран произвольно, если D = 0.


     6.3 Расстояние от точки до плоскости



     6.4 Взаимное расположение двух плоскостей

     Если , то они:

     1) пересекаются

     2) параллельны (но не совпадают)

     3) совпадают

     Если плоскости заданы уравнениями и то случаи 1 - 3 имеют месло, когда:

     1)

     2)

     3)


     6.5 Угол между плоскостями


     6.6 Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей

или



     6.7 Расстояние между параллельными плоскостями

     Если плоскости заданы уравнениями и , то

а если уравнениями и , то


     6.8 Пучок плоскостей

     Если

есть ось пучка, то уравнение пучка


     6.9 Связка плоскостей

     Если - центр связки, то уравнение связки имеет вид

     Если центр задан пересечением трех плоскостей:

то уравнение связки имеет вид


7. Линии второй степени


     7.1 Канонические уравнения

     Окружность

     Окружность радиуса R с центром в начале координат:

     Уравнение касательной к окружности в произвольной точке

     Параметрические уравнения:

     Окружность радиуса R с центром в точке C(a; b):


     Эллипс (рис. 4.14)

     Пусть на плоскости заданы две точки и и дано число a (a > c). Эллипс - множество точек M плоскости, для каждой из которых сумма расстояний от точек и равна 2a. Точки и называются фокусами эллипса; - большая ось; - малая ось; O - центр; - левый и правый фокусы; - вершины; - фокальные радиусы;

     Каноническое уравнение:

     Эксцентриситет:



     Фокальные радиусы:

     Фокальный параметр:

     Уравнения директрис:

     Основное свойство директрис: где r - фокальный радиус любой точки эллипса; d - расстояние от нее до соответствующей (односторонней) директрисы.

     Уравнение касательной в точке

     Свойство касательной к эллипсу:

     Уравнение нормали в точке

     Уравнение диаметра (сопряженного хордам с угловым коэффициентом k):

     Параметрические уравнения эллипса:

     Полярное уравнение:

     Площадь, ограниченная эллипсом:



     Гипербола (рис. 4.15)

     Пусть на плоскости заданы две точки и и дано число a (0 < a < c). Гипербола - множество точек M плоскости, для каждой из которых модуль разности расстояний от точек и равен 2a. Точки и называются фокусами гиперболы; - действительная ось; - мнимая ось; O - центр; - левый и правый фокусы; - вершины; - фокальные радиусы:

     Каноническое уравнение:

     Эксцентриситет:

     Фокальные радиусы:

       для правой ветви

       для левой ветви

     Фокальный параметр:

     Уравнения директрис:



     Основное свойство директрис: где r - фокальный радиус любой точки гиперболы; d - расстояние от нее до соответствующей (односторонней) директрисы.

     Уравнение касательной в точке

     Свойство касательной к гиперболе:

     Уравнение нормали в точке

     Уравнения асимптот:

     Уравнение гиперболы, сопряженной данной

     Уравнение равносторонней гиперболы:

     каноническое

     отнесенное к осям как к асимптотам:

     Уравнение диаметра (сопряженного хордам с угловым коэффициентом k):

     Параметрические уравнения гиперболы:

     Полярное уравнение:



     Парабола(рис. 4.16)

     Пусть на плоскости заданы точка F и прямая , не проходящая через F. Парабола - множество всех тех точек M плоскости, каждая из которых равноудалена от точки F и прямой . Точка F называется фокусом, прямая - директрисой параболы; (OF) - ось, O - вершина, - параметр, - фокус, - фокальный радиус.

     Каноническое уравнение:

     Эксцентриситет:

     Фокальный радиус:

     Уравнение директрисы:

     Уравнение касательной в точке

     Свойство касательной к параболе: (М - точка касания; N - точка пересечения касательной с осью Ox).

     Уравнение нормали в точке

     Уравнение диаметра, сопряженного хордам с угловым коэффициентом k: y = p/k.

     Параметрические уравнения параболы:

     Полярное уравнение:



     Другие формы канонического уравнения (рис. 4.17):


     7.2 Общие уравнения линий второй степени

     Общее уравнение

определяет одну из следующих линий:

     

    

  


     7.3 Инварианты общего уравнения линий второй степени

     Инварианты по отношению к преобразованию одной декартовой прямоугольной системы в другую:



     7.4 Характеристическое уравнение линии второй степени

его корни


     7.5 Классификация линий второй степени по числу центров

     I группа - имеющие единственный центр симметрии,

     II группа - не имеющие центра симметрии,

     III группа - имеющие прямую центров симметрии.


     7.6 Канонический вид линий второй степени

     I группа:

     II группа:

     III группа:

где


     7.7 Необходимые и достаточные признаки линий второй степени



     7.8 Расположение эллипса и гиперболы относительно исходной системы координат

     Координаты нового начала (центра) - решение системы

     Угловой коэффициент новой оси (в случае )


     7.9 Расположение параболы относительно исходной системы координат

     Координаты вершины - решение системы, определяемой уравнением параболы и уравнением ее оси:

или

     Параметр параболы:

     Направляющий вектор оси (в сторону ее вогнутости):


8. Поверхности второй степени
     Канонические уравнения

     Сфера

     Сфера радиуса R с центром в начале координат:

     Параметрические уравнения:

     Сфера радиуса R с центром в точке S (a; b; c):


     Эллипсоид (рис. 4.18)

     Каноническое уравнение:

      - трехосный эллипсоид;

      - эллипсоид вращения вокруг оси Oz;

      - эллипсоид вращения вокруг оси Oy;

      - эллипсоид вращения вокруг оси Ox;

      - сфера.

     Сечения эллипсоида плоскостями - либо эллипс (окружность), либо точка, либо .


     Конус второй степени (рис. 4.19)

     Каноническое уравнение:

     a = b - конус вращения (прямой круговой).

     Сечения конуса плоскостями: в плоскости, пересекающей все прямолинейные образующие, - эллипс; в плоскости, параллельной одной прямолинейной образующей, - парабола; в плоскости, параллельной двум прямолинейным образующим, - гипербола; в плоскости, проходящей через вершину конуса, - пара пересекающихся прямых или точка (вершина).



     Однополостный гиперболоид (рис. 4.20)

     Каноническое уравнение:

     a = b - однополостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz.

     Горловой эллипс:   

     Асимптотический конус:   

     Сечения однополостного гиперболоида плоскостями - либо эллипс, либо парабола, либо гипербола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).


     Прямолинейные образующие

     Через произвольную точку проходят две прямолинейные образующие с направляющими векторами и где:

     В частности, если точку выбирать на горловом эллипсе то уравнениями прямолинейных образующих будут:



     Двуполостный гиперболоид (рис. 4.21)

     Каноническое уравнение:

     a = b - двуполостный гиперболоид вращения вокруг оси Oz.

     Асимптотический конус:

     Сечения двуполостного гиперболоида плоскостями: либо эллипс, либо гипербола, либо парабола, либо точка, либо .


     Эллиптический параболоид (рис. 4.22)

     Каноническое уравнение:

     p = q - параболоид вращения вокруг оси Oz.

     Сечения эллиптического параболоида плоскостями - либо эллипс, либо парабола, либо точка, либо .



     Гиперболический параболоид (рис. 4.23)

     Каноническое уравнение:

     Сечения гиперболического параболоида плоскостями - либо гипербола, либо парабола, либо пара прямых (прямолинейных образующих).


     Прямолинейные образующие

     Через каждую точку проходят две прямолинейные образующие:


     Эллиптический цилиндр (рис. 4.24)

     Каноническое уравнение:

при a = b - круговой цилиндр.



     Гиперболический цилиндр (рис. 4.25)

     Каноническое уравнение:


     Параболический цилиндр (рис. 4.26)

     Каноническое уравнение:



     Общие уравнения поверхностей второй степени

     Общее уравнение

определяет одну из следующих поверхностей:



     Инварианты общего уравнения поверхности второй степени

     Инварианты по отношению к группе ортогональных преобразований:


     Характеристическое уравнение поверхности второй степени

его корни


     Классификация поверхностей второй степени по числу центров

     I группа - имеющие единственный центр симметрии,

     II группа - ранга 2 и не имеющие центра симметрии,

     III группа - имеющие прямую центров симметрии,

     IV группа - ранга 1 и не имеющие центра симметрии,

     V группа - имеющие плоскость центров симметрии.


     Канонический вид поверхностей второй степени

     I группа -

     II группа -

     III группа -

     IV группа -

     V группа -

где



     Необходимые и достаточные признаки поверхностей второй степени

     Координаты центра поверхности второй степени - решение системы









Designed by Gunia 2008-2009 Все права защищены

Главная страница | Математика | Услуги сайта | Помощь сайту | Реклама на сайте |
Наши проекты | Ссылки | Обратная связь | Программы